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《算学启蒙总括》  

2013-10-14 13:35:40|  分类: 诸子百家 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  《算学启蒙总括》

  朱世杰  著



  朱世杰字汉卿,号松庭,元朝人,籍贯燕山(今北京附近)。他长期从事数学研究和教育事业,以数学名家周游湖海二十多年,四方登门来学习的人很多。
  朱世杰全面继承了秦九韶(约公元1202-1261年,他的主要著作是《数书九章》)、李冶(公元1192-1279年,主要著作是《测圆海镜》和《益古演段》。)、杨辉(著有《详解九章算法》十二卷《日用算法》二卷、《乘除通变算宝》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等)三人的数学成就和各种实用算法,而且创造性地予以发展,写出《算学启蒙》三卷、《四元玉鉴》三卷等著名著作,把我国古代数学推向更高的境界,形成宋、元时期中国数学的最高峰。
  《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年(公元1299年)刊印的,全书分三卷,二十门,总计二百五十九个问题和相应的解答。自乘除运算起,一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”,全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整,内容深入浅出,通俗易懂,是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到了朝鲜、日本等国,出版过翻刻本和注释本,产生过一定的影响。《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价,认为是中国数学著作中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。《四元玉鉴》成书于大德七年(公元1303年),共三卷,二十四门,二百八十八问,介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法棗“四元术”、高阶等差级数的计算棗“垛积术”以及“招差术”(有限差分)等方面的研究成果。
  秦、李、杨、朱的数学著作内容广泛而艰深,象高次方程的数值解法、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术和招差术等,都是具有世界意义的学术成就,分别比欧洲要早出现四百年到八百年,在当时世界上居于遥遥领先的地位。这一丰富多彩的辉煌时期在我国数学史上也是罕见的。
  朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的。当未知数不止一个的时候,除设未知数天元(χ)外,还需要增设地元(y)、人元(z)乃至物元(u),再列写出二元、三元甚至四元的高次联立方程组,然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。朱世杰不仅提出了多元(最多到四元)高次联立方程组的算筹摆置记述方法,而且把《九章算术》等书中四元一次联立方程解法推广到四元高次联立方程,在欧洲,解联立一次方程开始于十六世纪,关于多元高次联立方程的研究还是十八、十九世纪的事。
  朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”上,指出招差公式中的各项系数恰好依次是各三角垛的积,这样就得到了包含有四次差的招差公式,并且可以推广为包含任意高次差的招差公式,这在世界数学史上是第一次,比欧洲牛顿的同样成就要早近四个世纪。除了“四元消法”和“垛积招差”以外,朱世杰在他的著作中还提出了许多值得注意的内容:在中国数学史上,朱世杰第一次正式提出了正负数乘法的正确法则。他对球体表面积的计算问题作了探讨,这是我国古代数学典籍中唯一的一次讨论。虽然结论不很正确,但是他的创新精神是可贵的。在《算学启蒙》中,朱世杰记载了完整的“九归除法”口诀,和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。
  总之,朱世杰继承和发展了前人的数学成就,为推进我国古代数学的发展做出了不可磨灭的重要贡献。由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力,使宋、元时期的数学水平达到光辉的高度,在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。
  《算学启蒙》
  中国元代数学家朱世杰撰,元大德三年(1299)刻于扬州,此刊已不存。
  本书包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容,由浅入深,形成了一个较完整的体系。正文前,列出了九九歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度、圆周诸率、正负数加减乘法法则、开方法则等18条作为总括,作为全书的预备知识,其中正负数乘法法则不仅在中国数学著作中,在世界上也是首次出现。许多歌诀比杨辉的更加完整准确,有的已与现代珠算口诀几乎完全一致。这是中国数学著作中第一次出现的与现今一致的口诀。本书的正文分3卷,20门,259问。卷上8门,113问,包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题,以及各种比例算法。
  许多问题反映了元代的社会经济情况。卷中7门,71问,是面积、体积及各种算术问题。卷下5门,75问,是关于分数运算、垛积(即高阶等差级数求和)、盈不足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题。还处理了开方过程中系数变号的问题。
  《算学启蒙》是一部很好的数学教材,它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始,包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等,有例题,有方法,分门别类,由浅入深,循序渐进,自成系统,确是一部很好的数学启蒙读物。此书曾传至朝鲜、日本,朝鲜有李朝世宗十五年(1433)的庆州府刻本,清顺治十七年(1660)金州府尹金始振翻刻。清罗士琳诸人闻此书,遂请人于北京寻获金刻本,道光十九年(1839)由阮元作序,在扬州刊刻,后来诸版皆依此。



  算学启蒙

  释九数法

  —一如一,
  一二如二,二二如四。
  一三如三,二三如六,三三如九。
  一四如四,二四如八,三四一十二,四四一十六。
  一五如五,二五一十,三五一十五,四五二十,五五二十五。
  一六如六,二六一十二,三六一十八,四六二十四,五六三十,六六三十六。
  一七如七,二七一十四,三七二十一,四七二十八,五七三十五,六七四十二,七七四十九。
  一八如八,二八一十六,三八二十四,四八三十二,五八四十,六八四十八,七八五十六,八八六十四。
  一九如九,二九一十八,三九二十七,四九三十六,五九四十五,六九五十四,七九六十三,八九七十二,九九八十一。

  九归除法

  一归如一进,见一进成十。
  二一添作五,逢二进成十。
  三一三十一,三二六十二,逢三进成十。
  四一二十二,四二添作五,四三七十二,逢四进成十。
  五归添一倍,逢五进成十。
  六一下加四,六二三十二,六三添作五,六四六十四,六五八十二,逢六进成十。
  七一下加三,七二下加六,七三四十二,七四五十五,七五七十一,七六十四,逢七进成十。
  八一下加二,八二下加四,八三下加六,八四添作五,八五六十二,八六七十四,八七八十六,逢八进成十。
  九归随身下,逢九进成十。

  斤下留法

  一退六二五,二留一二五,三留一八七五,四留二五,五留三一二五,六留三七五,七留四三七五,八留单五,九留五六二五,十留六二五,十一留六八七五,十二留七五,十三留八一二五,十四留八七五,十五留九三七五。

  明纵横诀

  一纵十横,百立千僵。
  千十相望,万百相当。
  满六已上,五在上方。
  六不积聚,五不单张。
  言十自过,不满自当。
  若明此诀,可习“九章”。

  大数之类

  一、十、百、千、万、十万、百万、千万,万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京,万万京曰陔,万万陔曰秭,万万秭曰壤,万万壤曰沟,万万沟曰涧,万万涧曰正,万万正曰载,万万载曰极,万万极曰恒河沙,万万恒河沙曰阿僧祗,万万阿僧祗曰那由他,万万那由他曰不可思议,万万不可思议曰无量数。

  小数之类

  一、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙。
  万万尘曰沙,万万埃曰尘,万万渺曰埃,万万漠曰渺,万万模糊曰漠,万万逡巡曰模糊,万万须臾曰逡巡,万万瞬息曰须臾,万万弹指曰瞬息,万万刹那曰弹指,万万六德曰刹那,万万虚曰六德,万万空曰虚,万万清曰空,万万净曰清。
  千万净,百万净,十万净,万净,千净,百净,十净,一净。

  求诸率类

  两求铢二十四乘,铢求两二十四除。
  斤求两身外加六,两求斤身外减六。
  秤求斤身外加五,斤求秤身外减五。
  据物卖钱而用乘,据钱买物而用除。

  斛斗起率

  量起于圭,十圭谓之一撮,十撮谓之一抄,十抄谓之一勺,十勺谓之一合,十合谓之一升,十升谓之一斗,十斗谓之一斛。

  斤秤起率

  衡起于黍。十黍谓之一絫,十絫谓之一铢,六铢谓之一分,四分谓之一两,十六两谓之一斤,十五斤谓之一秤,三十斤谓之一钧,四钧谓之一硕。

  端匹起率

  度起于忽。十忽谓之一丝,十丝谓之一毫,十毫谓之一厘,十厘谓之一分,十分谓之一寸,十寸谓之一尺,十尺谓之一丈。

  匹率。端率。

  田亩起率

  田起于忽。十忽谓之一丝,十丝谓之一毫,十毫谓之一厘,十厘谓之一分,十分谓之一亩,百亩谓之一顷。三百步谓之一里。

  古法圆率

  周三尺,径一尺。

  刘徽新术

  周一百五十七尺,径五十尺。

  冲之密率

  周二十二尺,径七尺。

  明异名诀

  二分之一为中半,三分之一为少半,三分之二为太半,四分之一为弱半,四分之三为强半。

  明正负术

  其同名相减,则异名相加;正无入负之,负无入正之。其异名相减,则同名相加;正无入正之,负无入负之。

  明乘除段

  长平相并曰和,长平相减曰较。长平相乘曰积,自相称之曰幂。同名相乘曰正,异名相乘为负。平除长为小长,长除平为小平。小长平相并曰小和,小长平相减余小较,小长平相乘得一步为小积。

  明开方法

  置积为实,及方廉隅,同加异减开之。

  纵横因法

  此法从来向上因,但言十者过其身,呼如本位须当作,知算纵横数目真。身外加法算中加法最堪夸,言十之时就位加,但遇呼如身下列,君从法式定无差。

  留头乘法

  留头乘法别规模,起首先从次位呼,言十靠身如隔位,通临头位破身铺。

  身外减法

  减法根源必要知,即同求—一般推,呼如身下须当减,言十从身本位除。

  九归除法门

  实少法多从法归,实多满法进前居。常存除数专心记,法实相停九十余。但遇无除还头位,然将释九数呼除。
  流传故泄真消息,求一穿韬总不如。
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